Định Lý Pytago

Định lý Pytago (Pythagoras) là định lý được áp dụng cho các tam giác vuông. Định lý được phát biểu đơn giản là với một tam giác vuông thì bình phương của cạnh huyền sẽ bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại. Mặc dù được phát hiện ra từ thời Ai Cập cổ đại do những người nông dân thời đó cần tính toán diện tích các thửa ruộng của mình thì không hiểu vì sao mà định lý này lại được mang tên Pytago. 

Định lý này cũng đã được nhắc tới trong các sách của Babylon hay Trung Quốc cổ đại trước thời của Pytago rất nhiều.

Định lý Pytago là một trong những định lý quan trọng của hình học Euclid vì từ đó người ta có thể tính được khoảng cách của hai điểm bất kỳ khi đặt nó lên trục tọa độ. Cho tới giờ có rất nhiều cách chứng minh khác nhau (bạn có thể vào đây để xem 92 cách chứng minh khác nhau của định lý Pytago, trong đó có cách chứng minh khá đẹp của Pytago – không hiểu có phải do vậy định lý này mang tên ông hay không?) Tuy vậy, có một cách chứng minh được tình cờ tìm ra bởi một tổng thống Mỹ. Đó là tổng thống thứ 20 của Mỹ, James A. Garfield (1831-1881) và cũng đáng buồn là tổng thống thứ 2 của Mỹ bị ám sát sau tổng thống Lincon. Garfield chỉ có đúng 200 ngày cuối cùng trong cuộc đời của mình để làm tổng thống.

Vào năm 1876, khi đang là thành viên của Hạ nghị viện Mỹ, Garfield đã tìm ra một cách chứng minh định lý Pytago tương đối đẹp và đơn giản được trình bày ở dưới đây :

Giả sử tam giác vuông ban đầu là tam giác màu vàng. Dựng một tam giác vuông cân màu đỏ và tiếp sau đó là tam giác vuông còn lại màu xanh có cùng kích thước với tam giác màu vàng ban đầu. Dễ thấy toàn bộ hình được dựng là hình thang. Diện tích của hình thang được tính bằng trung bình cộng của hai đáy nhân với chiều cao = (a+b)/2 x (a+b).

Trong khi đó, diện tích của tam giác màu vàng và màu xanh sẽ bằng a x b/2, diện tích tam giác vuông cân màu đỏ sẽ là c x c/2. Tổng diện tích của ba tam giác = diện tích hình thang nên ta sẽ có :

1/2 x (a+b)² = 1/2 x a x b + 1/2 x a x b + 1/2 c²

Khai triển vế trái và bỏ đi 1/2 ở cả hai vế, ta sẽ có :

a² + 2 x a x b + b² = 2 x a x b + c²

Giản lược 2 x a x b đi ta sẽ có kết quả cuối cùng : a² + b² = c².